Quadrado da oposição e negação de proposições

 1. O quadrado da oposição e a negação de proposições.

O quadrado da oposição é uma diagrama que mostra as relações entre quatro tipos de proposições categóricas.

1.1. Proposições simples e complexas

Uma proposição simples é aquela em que não estão presentes conectivas proposicionais, tais como "e", "ou", "se...então", etc. Estas proposições não podem ser decompostas em outras proposições.

Exemplo: "O João gosta de chocolate"

 

Uma proposição complexa é composta por duas ou mais proposições simples ligadas através de conectivas proposicionais. As proposições complexas podem ser decompostas em proposições simples.

Exemplo: "O João gosta de chocolate e gelado" = "O João gosta de chocolate" + "O João gosta de gelado".

 

1.1.1. Proposições categóricas.

 

Dentro da categoria das proposições simples encontramos as proposições categóricas. 

Proposições categóricas são aquelas que negam ou afirmam alguma coisa sobre alguma coisa (afirmam ou negam um predicado de um sujeito) e são precedidas por um quantificador.

 

    Vejam-se alguns exemplos:

• Todas as aves são voadoras.

• Algumas aves não são voadoras.

• Nenhum humano é voador.

• Alguns humanos são aborrecidos.

   

Quando se diz “Todas as aves voam” está-se a afirmar alguma coisa sobre alguma outra coisa. Neste caso estamos a afirmar sobre as aves o facto de elas voarem. Esta frase é precedida de um quantificador: “Todas”. Este tipo de proposições têm, portanto, uma qualidade e uma quantidade. A qualidade pode ser negativa ou afirmativa - podemos afirmar ou negar algo -, a quantidade pode ser universal - quando refere o conjunto de todos as coisas/indivíduos- ou particular - quando refere apenas alguns. 

Combinando estes quatro factores temos os quatro tipos de proposições categóricas estudadas pelo filósofo Aristóteles:

 

    Tipo A: Universal Positiva - Todo o A é B. “Todas as aves são voadoras” - Afirma-se algo sobre todas as aves.

    Tipo E: Universal Negativa - Nenhum A é B. “Nenhuma ave é voadora” - Nega-se algo sobre todas as aves (por diz-se “nenhuma”).

    Tipo I: Particular Afirmativa - Algum A é B. “Algumas pessoas são aborrecidas” - Afirma-se algo sobre uma parte do conjunto das pessoas.

    Tipo O: Particular Negativa - Algum A não é B. “Algumas pessoas não são aborrecidas” - Nega-se algo sobre uma parte do conjunto das pessoas. 

 

Mas atenção! Nem sempre estas proposições aparecem nesta sua forma canónica. Podemos encontrar uma proposição do tipo A com esta forma: “Qualquer A é B”, ou uma proposição do tipo I: “Há A’s que são B”, ou ainda: “Não é verdade que alguns A’s não são B’s” (estamos a negar duas vezes, de modo que se trata de uma proposição do tipo I). É preciso estar atento às expressões utilizadas e o que elas significam. O que importa é se se está a negar ou a afirmar o todo ou a parte.

1.2. As relações entre os tipos de proposições categóricas.

 

 

  

O que mais nos interessa no quadrado da oposição é a relação de contraditoriedade. É essa a relação entre proposições que se negam umas a outras. 

Para uma proposição negar outra é necessário inverter o seu valor de verdade. Ou seja, se uma é verdadeira a outra é falsa e vice-versa. Isto acontece porque uma é o inverso da outra tanto em qualidade (negação-afirmação) como em quantidade (universal-particular).

 

Contraditoriedade

Proposições do tipo A são negadas por proposições do tipo O e vice versa. 

Se digo que todos os A são B, por exemplo, todos os lisboetas são portugueses, basta-me encontrar algum A que não seja B, isto é, algum lisboeta que não seja português, para que a primeira proposição seja falsa. Mas se a segunda for falsa, se não houver algum lisboeta que não seja português então a primeira será necessariamente verdade. 

O mesmo se passa com as proposições do tipo E e tipo I. As de tipo E negam as de tipo I e vice-versa.

Se digo que nenhum lisboeta é português, basta-me encontrar algum que seja de modo a negar essa proposição. Se for verdade que algum lisboeta não é português então é falso que nenhum lisboeta é português e vice-versa.

 

Contrariedade

Numa relação de contrariedade as duas proposições (de tipo A e tipo E) não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Mas podem ser as duas falsas. É por isso que não são a negação uma da outra.

É impossível que seja verdade ao mesmo tempo que todos os lisboetas sejam portugueses e que nenhum lisboeta seja portugues. Mas é perfeitamente possível que sejam ambas falsas. É possível que alguns lisboetas sejam portugueses e outros não.

 

Subcontrariedade

Na relação de subcontrariedade as duas proposições (de tipo I e tipo O) não podem ser ambas falsas. Se uma é falsa a outra é verdadeira. Se é falso que alguns lisboetas são portugueses então é verdade que alguns lisboetas não são portugueses. 

Mas podem ser ambas verdadeiras. Pode ser verdade que alguns lisboetas são portugueses e outros não.

 

Subalternidade

As proposições de tipo I são subalternas das de tipo A e as proposições de tipo O são subalternas das de tipo E.

Isto significa que se uma proposição de tipo A é verdadeira então a de tipo I será também verdadeira. Se é verdade que todos os lisboetas são portugueses então será também verdade que alguns lisboetas são portugueses. 

Mas se uma proposição de tipo I é verdadeira não é necessário que a de tipo A seja também. Se é verdade que alguns lisboetas são portugueses não precisa de ser verdade que todos eles o são. E, se a de tipo A é falsa a de tipo I pode ser verdadeira.

O mesmo se passa na relação entre proposições do tipo E e tipo O. Se a primeira é verdadeira a outra também é. Mas se a segunda é verdadeira a primeira não necessita de ser também verdadeira. E, se a de tipo E é falsa a de tipo O pode ser verdadeira.

Correção dos exercícios de tradução de proposições

 

1. Traduz as seguintes proposições para linguagem formal, estabelecendo primeiro o respectivo dicionário. De seguida classifica as proposições. 

1.1.O João é bom rapaz assim como o Zé. 

 Dicionário - P: O João é bom rapaz.

  Q: O Zé é bom rapaz

       Formalização: P ∧ Q

       Classificação: Esta proposição é uma conjunção. 

1.2. Se andas à chuva então vais ficar molhado.

Dicionário - P: Andas à chuva.

                  Q: Vais ficar molhado.

        Formalização: P ⟶ Q

        Classificação: Esta proposição é uma condicional.

1.3. Só se os números da Covid voltam a subir é que voltamos a ter aulas online e vice-versa.

Dicionário - P: Os números da covid voltam a subir.

          Q: Voltamos a ter aulas online.

       Formalização: P ↔️ Q

       Classificação: Esta proposição é uma bicondicional.

1.4. O João ou faz anos em Maio ou faz anos em Junho.

Dicionário - P: O João faz anos em Maio.

          Q: O João faz anos em Junho.

        Formalização: P ⊻ Q

        Classificação: Esta proposição é uma disjunção exclusiva.

1.5. Vou à praia ou à piscina.

Dicionário - P: Vou à praia.

          Q: Vou à piscina.

        Formalização: P v Q

        Classificação: Esta proposição é uma disjunção inclusiva.

 

2. Traduz para linguagem natural, utilizando os dicionários dados, as seguintes proposições

2.1. P ⋀ Q

Dicionário: P: Chove; Q: Faz frio

  

Chove e faz frio

2.2. P ⟶ Q

Dicionário: P: Tenho boa nota no teste; Q: Passo de ano

  

Se tenho boa nota no teste então passo de ano.

 

3. Traduz para linguagem formal as seguintes proposições, indicando os dicionários utilizados: 

3.1. Se Deus existe a vida tem sentido e valor.

Dicionário - P: Deus existe.

                  Q: A vida tem sentido.

          R: A vida tem valor.

        Formalização: P ⟶ (Q ∧ R)

3.2. Se tudo está determinado então o homem não tem livre arbítrio.

 Dicionário - P: Tudo está determinado.

          Q: O homem tem livre arbítrio.

        Formalização: P ⟶ ~Q

3.3. Ou Deus existe e a vida tem sentido ou Deus não existe e a vida não tem sentido.

Dicionário - P: Deus existe.

                          Q: A vida tem sentido.

       Formalização: (P ∧ Q) ⊻ (~P ∧ ~Q)

3.4. Se existe livre arbítrio então o homem é livre e responsável pelas suas acções.

Dicionário - P: Existe livre arbítrio.

          Q: O homem é livre.

          R: O homem é responsável pelas suas ações.

        Formalização: P ⟶ (Q ∧ R)

3.5. Existem valores morais objetivos se e só se todas as pessoas concordam com um certo conjunto de valores morais e todos os argumentos dos relativistas foram rebatidos.

Dicionário - P: Existem valores morais objetivos.

          Q: Todas as pessoas concordam com um certo conjunto de valores morais.

          R: Todos os argumentos dos relativistas foram rebatidos.

        Formalização: P ↔️ (Q ∧ R)

Texto para resumo Marta 10ºB

"Tabelas de verdade

As suposições clássicas são, em primeiro lugar, que todas as proposições (p, q, etc.) têm apenas um de dois valores de verdade. Têm de ser ou verdadeiras ou falsas, mas não ambas as coisas. (...) A segunda suposição é a de que os termos com que a lógica lida - essencialmente «e», «não», «ou» e «se---então» - podem caracterizar-se em função daquilo que fazem aos valores de verdade. (...)

Considere «não p». Não p, que se costuma escrever como ㄱp, é a rejeição ou negação de p: é aquilo que o leitor diz quando não concorda com p. Seja sobre o que for de que se esteja a falar, p, de acordo com a nossa primeira suposição, é ou verdadeira (V) ou falsa (F). E não ambas. O que faz o «não»? Converte simplesmente os valores de verdade. Se p é verdadeira, então ᆨp é falsa. Se p é falsa, então ᆨp é verdadeira. E isto é o que faz o «não». Podemos resumir este resultado na seguinte tabela de verdade:

 

p     ᆨp

V       F

F        V

A tabela dá o resultado, em termos de verdade ou falsidade, para cada atribuição de valores de verdade aos seus componentes (e a esta atribuição chama-se uma interpretação). Podemos fazer uma tabela semelhante para «e», só que nesse caso há mais combinações a considerar. Supomos que «e» é a conjunção de duas proposições, podendo cada uma delas ser verdadeira ou falsa. Assim, temos duas situações ou interpretações a considerar:

 p      q     p ∧ q

V      V        V

V       F        F

F       V        F

F       F        F

Esta tabela dá-nos os valores de verdade de todas as combinações, da conjunção, como uma função das combinações dos valores de verdade dos seus componentes: as diferentes interpretações da fórmula.

Resumimos o facto de podermos fazer estas tabelas dizendo que a conjunção e a negação são verofuncionais (...)."

Simon Blackburn (2001), Pense. Uma Introdução à Filosofia, Lisboa: Gradiva, pp.203-204.

Tabelas de verdade

https://www.slideshare.net/helenaserrao/pp4-238798870 

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Texto para resumo Manuel 10ºB

 

“O acontecimento mais importante na história da filosofia do século XIX foi a invenção da lógica matemática. Não se tratou apenas de fundar de novo a própria ciência da lógica; foi algo que teve igualmente consequências importantes para a filosofia da matemática, para a filosofia da linguagem e, em última análise, para a compreensão que os filósofos têm sobre a natureza da própria filosofia.O principal fundador da lógica matemática foi Gottlob Frege. Nascido na costa báltica alemã em 1848, Frege (1848-1925) doutorou-se em Filosofia em Göttingen e ensinou na Universidade de Jena de 1874 até se reformar, em 1918. Excepto no que respeita à actividade intelectual, a vida de Frege foi rotineira e isolada; o seu trabalho foi pouco lido enquanto viveu, e mesmo depois da sua morte só exerceu influência por intermédio dos escritos de outros filósofos. Mas gradualmente foi-se reconhecendo que Frege foi o maior de todos os filósofos da matemática e que, como filósofo da lógica, foi comparável a Aristóteles. A sua invenção da lógica matemática foi uma das maiores contribuições para os desenvolvimentos, em diversas disciplinas, que estiveram na origem da invenção dos computadores. Dessa forma, Frege afectou as vidas de todos nós. A produtiva carreira de Frege começou em 1879 com a publicação de um opúsculo intitulado Begriffschrift, ou Escrita Conceptual. A escrita conceptual que deu o título ao livro consistia num novo simbolismo concebido com o fim de exibir claramente as relações lógicas escondidas na linguagem comum. A notação de Frege, logicamente elegante mas tipograficamente incómoda, já não é usada em lógica simbólica; mas o cálculo por ele formulado constitui desde então a base da lógica moderna. Em vez de fazer da silogística aristotélica a primeira parte da lógica, Frege atribuiu esse lugar a um cálculo inicialmente explorado pelos estóicos: o cálculo proposicional, ou seja, o ramo da lógica que trata das inferências que assentam na negação, conjunção, disjunção, etc., quando aplicadas a frases declarativas no seu todo. O seu princípio fundamental — que remonta igualmente aos estóicos — consiste em considerar que os valores de verdade (isto é, verdadeiro ou falso) das frases declarativas que contêm conectivos como «e», «se», «ou», são determinados apenas pelos valores de verdade das frases ligadas pelos conectivos— da mesma forma que o valor de verdade da frase «João é gordo e Maria é magra» depende apenas dos valores de verdade de «João é gordo» e de «Maria é magra». As frases compostas, no sentido técnico dos lógicos, são tratadas como funções de verdade das frases simples que entram na sua composição. O Begriffschrift de Frege contém a primeira formulação sistemática do cálculo proposicional; este é apresentado sob uma forma axiomática, na qual todas as leis da lógica são derivadas, por meio de regras de inferência, a partir de um certo número de princípios primitivos.”

 

Anthony Kenny, História concisa da Filosofia Ocidental, Lisboa: Temas e Debates, 1999, pp. 437-438.

Correção das perguntas do texto "A máquina de salsichas da razão"

 1- O que é um argumento dedutivo?

Um argumento dedutivo é aquele que preserva a verdade, em que as premissas implicam a conclusão. Isto é, num argumento dedutivo válido caso as premissas sejam verdadeiras a conclusão é necessariamente verdadeira, há uma garantia lógica.

2- O que é um argumento indutivo?

Um argumento indutivo é aquele em que as premissas apenas apoiam fortemente a conclusão. Isto é, num argumento indutivo válido, caso as premissas sejam verdadeiras a conclusão é muito provavelmente verdadeira, mas não necessariamente.

3- O que distingue um argumento indutivo de um argumento dedutivo?

A diferença está no tipo de validade. A validade dedutiva, dos argumentos dedutivos, dá-nos a certeza de que se as premissas forem verdadeiras a conclusão é também verdadeira (é necessário que assim seja), enquanto a validade indutiva, dos argumentos indutivos, dá-nos apenas uma grande confiança de que, caso as premissas sejam verdadeiras, a conclusão é também verdadeira (é apenas muito provável que assim seja, não é necessário).

Lógica, Proposições, Argumentos, Validade dedutiva e indutiva, Verdade e Solidez

 

1. O que é a lógica?

A palavra "lógica" vem do grego logos e significa razão, discurso, palavra.

A lógica é a área da filosofia que estuda a distinção entre argumentos válidos e argumentos inválidos, identificando as condições necessárias para que de um dado ponto de partida (premissas) se possa retirar uma dada conclusão. A lógica estuda as regras às quais o nosso pensamento e discurso deve obedecer de modo a ser válido.

2. Proposições

A filosofia  trabalha com problemas em aberto, problemas para os quais não há uma solução consensual. As respostas a estes problemas são as teses filosóficas. Estas teses são expressas em proposições.

Uma proposição é o conteúdo de uma frase declarativa que pode ser verdadeiro ou falso - ter um "valor de verdade".

3. Argumentos

As proposições são os componentes dos argumentos utilizados para defender as teses filosóficas. Tendo em conta o facto de os problemas a que elas respondem serem problemas em aberto, o melhor modo que temos para provar que uma tese filosófica é melhor que outra é através da argumentação.

Um argumento é um conjunto variável de proposições articuladas entre si com o intuito de uma delas ser apoiada pelas outras. A proposição que se quer apoiar chama-se conclusão. Aquelas que utilizamos para apoiar são chamadas premissas. Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só uma conclusão. 

Nem sempre as premissas de um argumento aparecem claramente enunciadas e com a conclusão no final. 

Para identificar a conclusão e as premissas podemos estar a tendo a certas palavras/expressões. Os indicadores de conclusão, e os indicadores de premissa. 

Indicadores de conclusão: logo, portanto, sendo assim, isto prova, desta forma, etc.

Indicadores de premissa: porque, pois, visto que, devido a, a razão é, se, etc.

4. Validade, Verdade e Solidez.

Depois de identificados os argumentos, podemos avaliá-los. Podemos ver se são válidos ou inválidos e, mais ainda, se são sólidos.

A verdade é uma propriedade das proposições, portanto, das premissas e da conclusão do argumento e não ao argumento como um todo. A verdade é a correspondência entre a proposição e a realidade. Se digo "O João está a dormir", esta proposição é verdadeira se o João estiver de facto a dormir.

Já a validade diz respeito ao argumento como um todo. De um argumento diz-se que é válido ou inválido, nunca verdadeiro ou falso. Um argumento é válido se as suas premissas apoiarem suficientemente a conclusão.

Um argumento é sólido se for válido e tiver as suas premissas verdadeiras.

5. Argumentos dedutivos e indutivos

Existem dois tipos de argumentos com dois tipos de validade diferente.

Temos a validade dedutiva - dos argumentos dedutivos - segundo a qual: um argumento é válido se e só se for impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Ou, dito de outro modo: num argumento dedutivo válido a conclusão não pode ser falsa se todas as premissas forem verdadeiras.

Os argumentos dedutivos válidos são, portanto, aqueles em que a conclusão se segue necessariamente das premissas, e por isso, caso as premissas forem verdadeiras a conclusão será necessariamente verdadeira também. 

É deste tipo de argumentos que se ocupa a lógica formal, a área da lógica que estuda os aspectos da estrutura/forma dos argumentos que são relevantes para a sua validade.

Por sua vez, a validade indutiva - dos argumentos indutivos - diz-nos apenas que caso as premissas de um argumento sejam verdadeiras então a conclusão é provavelmente verdadeira. este tipo de argumentos é estudado pela lógica informal.

A diferença entre os dois tipos de argumentos/validade está justamente no facto de que, nos argumentos dedutivos, caso o argumentos seja válido e as suas premissas verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira, enquanto no caso dos argumentos indutivos, caso as premissas sejam verdadeiras e a forma válida, a conclusão é apenas provavelmente verdadeira.

 

 

Texto para resumo João Secundo 10ºB

    

"O interesse de Aristóteles gira em primeiro lugar à volta de uma proposição com a forma «X é Y» chamada proposição predicativa, em que X é o sujeito, Y o predicado e «é» a cópula. O sujeito e o predicado constituem os termos da proposição e um termo ser singular é equivalente a ser um nome de um objecto e ser universal é equivalente a ser o nome de uma totalidade. Assim são exemplos de proposições predicativas «Sócrates é sábio» ou «Os atenienses são impiedosos». A qualidade de uma proposição predicativa é negativa se a cópula contém uma ocorrência de não e é positiva se não há ocorrência de não na cópula.

    (...) As expressões da linguagem corrente «todo» e «algum» e «não» podem ser usadas para representar as diversas combinações possíveis da qualidade e da quantidade das proposições predicativas. É-se assim conduzido a quatro formas de base:

 

        1. Todo o X é Y

        2. Algum X é Y

        3. Todo o X não é Y

        4. Algum X não é Y.

   

    A proposição de tipo 1 é conhecida por universal afirmativa e será de futuro abreviada pela letra latina maiúscula A; a de tipo 2 é conhecida por particular afirmativa e será abreviada por I; a de tipo 3, universal negativa e será abreviada pela por E e a de tipo 4, particular negativa e será abreviada pela letra O. Do ponto de vista proposicional o interesse principal de Aristóteles foi o estudo das relações entre os valores de verdade de pares destas proposições e de uma terminologia para essas relações. Assim os pares de proposições (A, O) e (E, I) são caracterizados pelo facto de se um elemento do par for verdadeiro, o outro será falso e estes pares têm o nome de proposições contraditórias, um conceito que corresponde ao conceito moderno de NEGAÇÃO. Em contraste o par (A, E) caracteriza-se pelo facto de ambas as proposições não poderem ser verdadeiras mas poderem ser ambas falsas."

 

João Branquinho e Desidério Murcho (2001), Enciclopédia de termos lógico-filosóficos, Lisboa: Gradiva, pp. 585-586.

Texto para resumo Jadzia 10ºB

 "As partes relevantes de um argumento são, em primeiro lugar, as suas premissas. As premissas são o ponto de partida, ou o que se aceita ou presume, no que respeita ao argumento. Um argumento pode ter uma ou várias premissas. A partir das premissas, os argumentos derivam uma conclusão. Se estamos a reflectir sobre um argumento, talvez por termos relutância em aceitar a sua conclusão, temos duas opções. Em primeiro lugar, podemos rejeitar uma ou mais das suas premissas. Em segundo lugar, podemos também rejeitar o modo como a conclusão é extraída das premissas. A primeira reacção é que uma das premissas não é verdadeira. A segunda é que o raciocínio não é válido. É claro que um argumento pode estar sujeito a ambas as críticas: as premissas não são verdadeiras e o raciocínio aplicado é inválido. Mas as duas críticas são distintas (e as duas expressões, «não é verdadeira» e «não é válido», marcam bem a diferença. 

    No dia-a-dia, os argumentos também são criticados noutros aspectos. As premissas podem não ser muito sensatas. É uma tolice apresentar um argumento intrincado a partir da premissa de que eu vou ganhar a lotaria da próxima semana se não houver qualquer hipótese de acontecer. É muitas vezes inapropriado recorrermos a premissas que sejam, elas mesmas, controversas. Não revela qualquer tacto nem é de bom gosto argumentar a favor de certas coisas em certas circunstâncias. Mas «lógico» não é sinónimo de «sensato». A lógica interessa-se em saber se os argumentos são válidos, e não se são sensatos. E vice-versa, muitas das pessoas a que chamamos «ilógicas» podem até usar argumentos válidos, mas que são patetas por outros motivos. 

     A lógica só tem a preocupação: saber se há maneira de as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa."

In Simon Blackburn (2001), Pense.Uma introdução à Filosofia, Lisboa: Gradiva, pp. 201-202.

Análise lógica

Análise lógica do texto de Karl Jaspers

TEMA	A atitude que o mundo tem em relação à Filosofia
PROBLEMAS	1. Qual a atitude do Mundo em relação à Filosofia? 2. Porque desprezam os homens a Filosofia? 3. Quais são os inimigos da Filosofia? 4. Será que a antifilosofia não é também uma Filosofia?
TESE 1 Resposta aos problemas 1, 2	A Filosofia é polidamente respeitada, mas no fundo, objeto de desprezo.
ARGUMENTO 1	Porque dizem que a Filosofia não tem qualquer utilidade prática, que é perigosa, porque os homens adquiririam outro estado de espírito e veriam as coisas a uma claridade insólita, porque os obriga a rever os seus juízos. Os políticos preferem  massas de funcionários  que não pensam pois são mais fáceis de manipular quando têm somente uma inteligência de rebanho.
TESE 2 TESE PRINCIPAL Resposta aos problemas 3, 4	A antifilosofia que os inimigos da Filosofia defendem é uma Filosofia pervertida que aprofundada engendraria a sua própria aniquilação.
ARGUMENTO 2	Os inimigos da Filosofia constroem também sem saber, de forma inconsciente,  uma antifilosofia como: a auto complacência burguesa, os convencionalismos, o hábito de considerar o bem estar material como razão suficiente da vida, o hábito de só apreciar a ciência em função da sua utilidade técnica, o ilimitado desejo de poder, a bonomia dos políticos, o fanatismo das ideologias, a aspiração a um nome literário.
CONCEITOS PRINCIPAIS	Filosofia, Antifilosofia, Inimigos da Filosofia, Desprezo