Quadrado da oposição e negação de proposições

 1. O quadrado da oposição e a negação de proposições.

O quadrado da oposição é uma diagrama que mostra as relações entre quatro tipos de proposições categóricas.

1.1. Proposições simples e complexas

Uma proposição simples é aquela em que não estão presentes conectivas proposicionais, tais como "e", "ou", "se...então", etc. Estas proposições não podem ser decompostas em outras proposições.

Exemplo: "O João gosta de chocolate"

 

Uma proposição complexa é composta por duas ou mais proposições simples ligadas através de conectivas proposicionais. As proposições complexas podem ser decompostas em proposições simples.

Exemplo: "O João gosta de chocolate e gelado" = "O João gosta de chocolate" + "O João gosta de gelado".

 

1.1.1. Proposições categóricas.

 

Dentro da categoria das proposições simples encontramos as proposições categóricas. 

Proposições categóricas são aquelas que negam ou afirmam alguma coisa sobre alguma coisa (afirmam ou negam um predicado de um sujeito) e são precedidas por um quantificador.

 

    Vejam-se alguns exemplos:

• Todas as aves são voadoras.

• Algumas aves não são voadoras.

• Nenhum humano é voador.

• Alguns humanos são aborrecidos.

   

Quando se diz “Todas as aves voam” está-se a afirmar alguma coisa sobre alguma outra coisa. Neste caso estamos a afirmar sobre as aves o facto de elas voarem. Esta frase é precedida de um quantificador: “Todas”. Este tipo de proposições têm, portanto, uma qualidade e uma quantidade. A qualidade pode ser negativa ou afirmativa - podemos afirmar ou negar algo -, a quantidade pode ser universal - quando refere o conjunto de todos as coisas/indivíduos- ou particular - quando refere apenas alguns. 

Combinando estes quatro factores temos os quatro tipos de proposições categóricas estudadas pelo filósofo Aristóteles:

 

    Tipo A: Universal Positiva - Todo o A é B. “Todas as aves são voadoras” - Afirma-se algo sobre todas as aves.

    Tipo E: Universal Negativa - Nenhum A é B. “Nenhuma ave é voadora” - Nega-se algo sobre todas as aves (por diz-se “nenhuma”).

    Tipo I: Particular Afirmativa - Algum A é B. “Algumas pessoas são aborrecidas” - Afirma-se algo sobre uma parte do conjunto das pessoas.

    Tipo O: Particular Negativa - Algum A não é B. “Algumas pessoas não são aborrecidas” - Nega-se algo sobre uma parte do conjunto das pessoas. 

 

Mas atenção! Nem sempre estas proposições aparecem nesta sua forma canónica. Podemos encontrar uma proposição do tipo A com esta forma: “Qualquer A é B”, ou uma proposição do tipo I: “Há A’s que são B”, ou ainda: “Não é verdade que alguns A’s não são B’s” (estamos a negar duas vezes, de modo que se trata de uma proposição do tipo I). É preciso estar atento às expressões utilizadas e o que elas significam. O que importa é se se está a negar ou a afirmar o todo ou a parte.

1.2. As relações entre os tipos de proposições categóricas.

 

 

  

O que mais nos interessa no quadrado da oposição é a relação de contraditoriedade. É essa a relação entre proposições que se negam umas a outras. 

Para uma proposição negar outra é necessário inverter o seu valor de verdade. Ou seja, se uma é verdadeira a outra é falsa e vice-versa. Isto acontece porque uma é o inverso da outra tanto em qualidade (negação-afirmação) como em quantidade (universal-particular).

 

Contraditoriedade

Proposições do tipo A são negadas por proposições do tipo O e vice versa. 

Se digo que todos os A são B, por exemplo, todos os lisboetas são portugueses, basta-me encontrar algum A que não seja B, isto é, algum lisboeta que não seja português, para que a primeira proposição seja falsa. Mas se a segunda for falsa, se não houver algum lisboeta que não seja português então a primeira será necessariamente verdade. 

O mesmo se passa com as proposições do tipo E e tipo I. As de tipo E negam as de tipo I e vice-versa.

Se digo que nenhum lisboeta é português, basta-me encontrar algum que seja de modo a negar essa proposição. Se for verdade que algum lisboeta não é português então é falso que nenhum lisboeta é português e vice-versa.

 

Contrariedade

Numa relação de contrariedade as duas proposições (de tipo A e tipo E) não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Mas podem ser as duas falsas. É por isso que não são a negação uma da outra.

É impossível que seja verdade ao mesmo tempo que todos os lisboetas sejam portugueses e que nenhum lisboeta seja portugues. Mas é perfeitamente possível que sejam ambas falsas. É possível que alguns lisboetas sejam portugueses e outros não.

 

Subcontrariedade

Na relação de subcontrariedade as duas proposições (de tipo I e tipo O) não podem ser ambas falsas. Se uma é falsa a outra é verdadeira. Se é falso que alguns lisboetas são portugueses então é verdade que alguns lisboetas não são portugueses. 

Mas podem ser ambas verdadeiras. Pode ser verdade que alguns lisboetas são portugueses e outros não.

 

Subalternidade

As proposições de tipo I são subalternas das de tipo A e as proposições de tipo O são subalternas das de tipo E.

Isto significa que se uma proposição de tipo A é verdadeira então a de tipo I será também verdadeira. Se é verdade que todos os lisboetas são portugueses então será também verdade que alguns lisboetas são portugueses. 

Mas se uma proposição de tipo I é verdadeira não é necessário que a de tipo A seja também. Se é verdade que alguns lisboetas são portugueses não precisa de ser verdade que todos eles o são. E, se a de tipo A é falsa a de tipo I pode ser verdadeira.

O mesmo se passa na relação entre proposições do tipo E e tipo O. Se a primeira é verdadeira a outra também é. Mas se a segunda é verdadeira a primeira não necessita de ser também verdadeira. E, se a de tipo E é falsa a de tipo O pode ser verdadeira.