Ficha2 .Lógica proposicional- Aula 3/4

Ficha 2 Lógica Proposicional AULA3/4

Operadores proposicionais

Basta mudar da palavra «e» para a palavra «ou» e obtemos uma forma lógica inválida: P ou Q. Logo, P. Esta forma lógica é inválida porque há imensos argumentos com esta forma cujas premissas são verdadeiras e cujas conclusões são falsas: Lisboa é feita de maionese ou Coimbra é uma cidade. Logo, Lisboa é feita de maionese. Este argumento é inválido: a sua premissa é verdadeira e a sua conclusão é falsa. Podemos assim concluir que as palavras «ou» e «e» desempenham um papel central na forma lógica, pois basta substituir uma pela outra e passamos de uma forma válida para uma forma inválida. Tanto o «e» como o «ou» são operadores proposicionais. Um operador proposicional é uma expressão que se pode acrescentar a uma proposição ou proposições, formando assim novas proposições. Por exemplo, tomemos as duas proposições expressas a seguir: Asdrúbal tem olhos verdes. Asdrúbal tem olhos azuis. Se acrescentarmos corretamente o operador «ou», obtemos a proposição expressa a seguir: Asdrúbal tem olhos verdes ou Asdrúbal tem olhos azuis. Geralmente, usa-se uma frase mais abreviada para exprimir a mesma proposição: «Asdrúbal tem olhos verdes ou azuis». Há muitos operadores proposicionais, além de «e» e «ou». Eis alguns deles: • Penso que; • Tenho medo que; • Se…, então… • Não. Alguns operadores aplicam-se a uma única proposição; outros aplicam-se a mais de uma. Para aplicar o operador «e» precisamos de duas proposições. Mas para aplicar o operador «Penso que» basta uma.

Como o nome indica, os operadores proposicionais só se aplicam a proposições; não se aplicam a partes de proposições, como «é alto». Por exemplo, «é magro e alto» não exprime uma proposição. Claro que no dia-a-dia podemos dizer «É magro e alto», mas isso só acontece porque esta frase abrevia algo como «Asdrúbal é magro e alto».

Revisão 1. O que é uma variável proposicional? Defina e dê exemplos.

 2. O que é um operador proposicional? Defina e dê exemplos.

3. Assinale os operadores presentes nas proposições expressas a seguir e reescreva- -as sem os operadores. a) Aristóteles pensava que a virtude é o centro da ética. b) Ou Deus existe ou a Bíblia está enganada. c) Tanto Platão como Aristóteles eram filósofos gregos. d) Não há lobisomens.

Operadores verofuncionais Alguns operadores, como «ou» e «e», têm uma característica especial: são verofuncionais. Isto significa que se partirmos de duas proposições, P e Q, e se as ligarmos com «ou», por exemplo, saberemos qual é o valor de verdade de «P ou Q», desde que saibamos o valor de verdade de P e de Q. Por exemplo, se sabemos que o Asdrúbal não está na praia mas sim no cinema, então sabemos que 1 é verdadeira e 2 falsa: 1. O Asdrúbal está na praia ou no cinema. 2. O Asdrúbal está na praia e no cinema. Isto contrasta com os operadores que não são verofuncionais. Por exemplo, mesmo que saibamos que o Asdrúbal está no cinema, isso não é suficiente para saber se 3 é verdadeira ou falsa: 3. A Fortunata pensa que o Asdrúbal está no cinema. Assim, «e» e «ou» são operadores verofuncionais porque os valores de verdade de «O Asdrúbal está no cinema» e «O Asdrúbal está na praia» determinam inteiramente o valor de verdade de 1 e 2. Mas «A Fortunata pensa que» não é um operador verofuncional porque o valor de verdade de «O Asdrúbal está no cinema» não é suficiente para determinar o valor de verdade de 3. Um operador proposicional é verofuncional quando o valor de verdade da proposição com o operador é inteiramente determinado pelo valor de verdade da proposição ou proposições sem o operador. Chama-se também «conectiva proposicional» aos operadores verofuncionais.

Revisão 1. O que é um operador proposicional verofuncional? Defina e dê exemplos. 2. Pressupondo que a proposição a é verdadeira e a b falsa, determine o valor de verdade das proposições c-g, se for possível; caso não seja possível, explique porquê. a) A arte é imitação. b) A arte é expressão. c) A arte não é imitação. d) A arte é expressão e imitação. e) A arte é expressão ou imitação. f) O Asdrúbal teme que a arte seja imitação. g) O Asdrúbal pensa que a arte é expressão

Tabelas de verdade Quando um operador é verofuncional acontece algo muito interessante. Mesmo que não saibamos se o Asdrúbal está no cinema, na praia ou noutro sítio qualquer, sabemos que a proposi- ção expressa a seguir só é falsa no caso de o Asdrúbal não estar nem no cinema nem na praia: O Asdrúbal está no cinema ou na praia. O mesmo acontece com qualquer proposição da forma «P ou Q»: só será falsa se P e Q forem ambas falsas; caso contrário, será verdadeira. Podemos representar isto graficamente numa tabela de verdade: Uma tabela de verdade é um dispositivo gráfico que permite exibir as condições de verdade de uma forma proposicional dada. As condições de verdade são as circunstâncias que tornam uma proposição verdadeira ou falsa. Cada fila da tabela de verdade acima representa graficamente as condições de verdade do operador «ou». Neste caso, há quatro condições de verdade, que resultam da combinação dos dois valores de verdade possíveis de P e Q: podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou pode uma ser verdadeira e a outra falsa, ou vice-versa. Estas condições de verdade estão todas graficamente representadas nas filas da tabela. Numa tabela de verdade temos de representar todas as condições de verdade. É evidente que tanto faz que P seja verdadeira e Q falsa como o contrário: P falsa e Q verdadeira. Em ambos os casos o resultado é V. Mas temos mesmo assim de representar essas duas condições de verdade.

FICHA 2 LÓGICA PROPOSICIONAL

Análise da forma lógica das proposições e do seu valor de verdade, utilizando tabelas de verdade.

TABELAS DE VERDADE: Uma tabela de verdade é um dispositivo gráfico que permite exibir as condições de verdade de uma forma proposicional dada. As condições de verdade são as circunstâncias que tornam uma proposição verdadeira ou falsa. Cada fila da tabela de verdade abaixo representa graficamente as condições de verdade do operador «ou». Neste caso, há quatro condições de verdade, que resultam da combinação dos dois valores de verdade possíveis de P e Q: podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou pode uma ser verdadeira e a outra falsa, ou vice-versa. Estas condições de verdade estão todas graficamente representadas nas filas da tabela. Numa tabela de verdade temos de representar todas as condições de verdade

1.Disjunção

Chama-se disjunção a uma proposição da forma «P ou Q» e disjuntas a P e a Q.

A tabela de verdade da disjunção é uma forma simples de representar graficamente o significado verofuncional da disjunção:

P	Q	PVQ
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

REGRA LÓGICA: Uma disjunção só é falsa se ambas as disjuntas forem falsas.

Assim, mesmo que o valor de verdade de «Deus existe» e de «A vida faz sentido» seja desconhecido, sabemos que «Deus existe ou a vida faz sentido» só é falsa se as duas proposições anteriores forem falsas. E é isto que a tabela de verdade da disjunção representa.

Revisão 1. Considere-se a disjunção «A vida tem sentido ou a felicidade não é possível». a) Admitindo que a vida tem sentido, a disjunção é verdadeira ou falsa? Porquê? b) Admitindo que a vida não tem sentido e que não sabemos se a felicidade é possível, podemos saber se a disjunção é verdadeira ou falsa? Porquê? c) Admitindo que a vida tem sentido e que a felicidade não é possível, a disjunção é verdadeira ou falsa?

Expressão canónica “Platão refletiu sobre a ética ou Aristóteles refletiu sobre a ética”. Outras expressões • “Platão ou Aristóteles refletiram sobre a ética”. • “Quem refletiu sobre a ética foi Platão ou Aristóteles.” • “Platão refletiu sobre a ética a não ser que Aristóteles tenha refletido sobre a Ética”

Chama-se disjunção inclusiva à disjunção que acabámos de estudar.

EXERCÍCIOS: Considere-se a disjunção «A vida tem sentido ou a felicidade não é possível». a) Admitindo que a vida tem sentido, a disjunção é verdadeira ou falsa? Porquê? b) Admitindo que a vida não tem sentido e que não sabemos se a felicidade é possível, podemos saber se a disjunção é verdadeira ou falsa? Porquê? c) Admitindo que a vida tem sentido e que a felicidade não é possível, a disjunção é verdadeira ou falsa?

2. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: «Ou o Asdrúbal nasceu em Lisboa ou em Faro». Neste caso, as disjuntas não podem ser as duas verdadeiras: se o Asdrúbal nasceu em Lisboa, não pode ter nascido em Faro, e vice-versa.

 Chama-se disjunção exclusiva a este tipo de disjunção, que só é verdadeira quando só uma das proposições disjuntas é verdadeira. A tabela de verdade da disjunção exclusiva é a seguinte:

P	Q	PVQ
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

REGRA LÓGICA: Uma disjunção exclusiva só é verdadeira se uma das disjuntas for verdadeira e a outra falsa.

EXERCÍCIOS: Assinale quais das seguintes disjunções são inclusivas e quais são exclusivas, explicando porquê: a) Ou o estado é justificável ou os anarquistas têm razão. b) O Asdrúbal foi pelas escadas ou pelo elevador. c) O universo é indeterminado ou não temos livre-arbítrio. d) A alternativa é ir a Luanda ou ficar em Lisboa.

3. CONJUNÇÃO

Chama-se conjunção a uma proposição da forma «P e Q», e conjuntas às proposições P e Q. As condições de verdade da conjunção são evidentes:

Por exemplo, a conjunção «O Asdrúbal tem um cão que lê o jornal e a Fortunata usa sapatos sem sola» só é verdadeira se as duas proposições que a compõem forem verdadeiras; caso contrário, é falsa.

P	Q	P^Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

REGRA LÓGICA: Uma conjunção só é verdadeira se ambas as conjuntas forem verdadeiras.

Expressão canónica “O conhecimento é estudado pela filosofia e a fé é estudada pela filosofia”. Outras expressões • “O conhecimento e a fé são estudados pela filosofia”. • “O conhecimento é estudado pela filosofia e a fé também.” • Tanto o conhecimento como a fé são estudados pela filosofia”. • “A filosofia estuda quer o conhecimento, quer a fé”. • “O conhecimento é estudado pela filosofia mas a fé também o é”. • “O conhecimento é estudado pela filosofia, embora a fé também o seja”.

4. Negação

As condições de verdade da negação são ainda mais elementares do que as da disjunção e da conjunção. Chama-se negação a qualquer proposição da forma «não P». A tabela de verdade da negação é óbvia:

P	̚̚  P
V	F
F	V

REGRA LÓGICA: Uma negação é falsa unicamente quando a proposição de partida é verdadeira, e vice- -versa.

Por exemplo, a negação «O Asdrúbal não existe» só é verdadeira se for falso que o Asdrúbal existe. Expressão canónica O conhecimento não é possível. Outras expressões • Não é verdade que o conhecimento seja possível. • Não é o caso que o conhecimento seja possível. • O conhecimento é impossível

EXERCÍCIOS: 1. Considere-se a conjunção «A vida tem sentido e a felicidade é real». a) Admitindo que a vida não tem sentido, a conjunção é verdadeira ou falsa? Porquê? b) Admitindo que a vida tem sentido e que não sabemos se a felicidade é real, é possível saber se a conjunção é verdadeira ou falsa? Porquê? 2. Por que razão a tabela de verdade da negação tem apenas duas filas e não quatro?

5. Condicional

Chama-se condicional a qualquer proposição da forma «Se P, então Q», e chama-se antecedente a P e consequente a Q. Por vezes, chama-se também implicação à condicional. É evidente que a condicional «Se Aristóteles era grego, era africano» é falsa. É falsa porque a antecedente é verdadeira e a consequente falsa. Na lógica clássica olha-se unicamente para o valor de verdade da antecedente e consequente da condicional literal e considera-se que uma condicional só é literalmente falsa quando parte de uma verdade e chega a uma falsidade; em todos os outros casos, a condicional é verdadeira:

P	Q	P→Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

REGRA LÓGICA: Uma condicional só é falsa quando a sua antecedente é verdadeira e a sua consequente falsa; em todos os outros casos é verdadeira.

Expressão canónica Se há pensamento, então há matéria. Outras expressões • Se há pensamento, há matéria. • Há matéria, se houver pensamento. • Há pensamento somente se houver matéria. • Há matéria caso haja pensamento. • Não há pensamento, a menos que haja matéria. • Não há pensamento, a não ser que haja matéria. • Sempre que há pensamento, há matéria. • A matéria é uma condição necessária do pensamento. • O pensamento é uma condição suficiente da matéria.

EXERCÍCIOS 1. Considere-se a condicional «Se Deus existe, a vida tem sentido». a) Admitindo que Deus não existe, a condicional é verdadeira ou falsa? Porquê? b) Admitindo que Deus existe e que não sabemos se a vida tem sentido, é possível saber se a condicional é verdadeira ou falsa? Porquê? c) Admitindo que a vida tem sentido, a condicional é verdadeira ou falsa? Porquê?

A IMPLICAÇÃO NÃO É COMUTATIVA

Um operador é comutativo quando podemos trocar a ordem das proposições e obter o mesmo valor de verdade. Como na disjunção ou na conjunção, mas não na implicação ou condicional.

As condicionais estabelecem condições necessárias e suficientes. A antecedente de uma condicional é uma condição suficiente para a sua consequente. E a consequente de uma condicional é uma condição necessária para a sua antecedente. Condição suficiente P Condição necessária Q

6. Bicondicional

Chama-se bicondicional a qualquer proposição da forma «P se, e só se, Q». Eis a tabela de verdade da bicondicional:

P	Q	P→  Q   ←
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

REGRA LÓGICA: Uma bicondicional só é verdadeira caso ambas as proposições tenham o mesmo valor de verdade.

. Expressão canónica Uma obra é arte se, e só se, for a criação de um artista. Outras expressões • Uma obra é arte se, e somente se, for a criação de um artista. • Uma obra é arte se, e apenas se, for a criação de um artista. • Se uma obra for arte, é a criação de um artista e vice-versa. • Uma condição necessária e suficiente para algo ser uma obra de arte é ser a criação de um artista. • A arte é a criação de um artista. • A criação